The Group C₄

Silviu Radu did most of the analysis of the 147456 different cubes of this subgroup. Here the the table with the distances, the average distance is 16.95:

Distance	Number	Distance	Number
0f	1	11f	758
1f	6	12f	1,720
2f	9	13f	2,604
3f	0	14f	4,040
4f	1	15f	9,401
5f	12	16f	21,803
6f	50	17f	46,296
7f	42	18f	48,801
8f	56	19f	11,413
9f	33	20f	222
10f	188

Up to M-symmetry there are 36160 cubes which exactly have this symmetry. All but 39 cubes up to M-symmetry can be solved with less than 20 moves. 35 out of these 39 cubes have antisymmetry. All antipodes of this class are listed below, together with a few nice examples of this class.

The next table gives the number of cubes up to M-symmetry which exactly have C₄-symmetry, the average maneuver length is 16.97 now:

Distance	Number	Distance	Number
0f	0	11f	177
1f	1	12f	381
2f	1	13f	583
3f	0	14f	958
4f	0	15f	2,302
5f	2	16f	5,362
6f	8	17f	11,461
7f	7	18f	12,066
8f	7	19f	2,756
9f	7	20f	39
10f	42

If you are interested in a list of all optimal maneuvers, they are included in the file C4.zip.The 20 move maneuvers for the 37 cubes up to M-symmetry and M-antisymmetry are also included in the file 20moves.zip.

Name
Generator	D (1f*)

Name
Generator	F L' U2 B' R' D B U2 L F U' R' U (13f*)

Name
Generator	B2 F2 L2 R2 D B2 F2 L2 R2 (9f*)

Name
Generator	R2 U2 B' F D2 U2 L' F2 D' U L2 B' D2 B2 L R' U' (17f*)

Name
Generator	F R' B' D2 L' U' F L D2 B D R' (12f*)

Name
Generator	D B2 D' L2 U L' U F L F U' R' B2 D B U B F' D R' (20f*)

Name
Generator	L2 F2 U F2 U2 R F U' L2 D' L' B2 R2 D2 F' L' B' R' U R' (20f*)

Name
Generator	B2 F2 U L2 B2 L R B L2 U' B L2 D' U' B' F' D2 U' B R2 (20f*)

Name
Generator	B R' F' R' D' L R' B D2 F D R D2 R D B R' D' R' U' (20f*)

Name
Generator	U2 L2 F2 D F L D2 B2 R D' R' U' F2 R2 B L' F R2 D' R' (20f*)

Name
Generator	F2 D2 F2 D' U' R B' U L' D B2 L' B F' D2 F2 R' U' F2 R' (20f*)

Name
Generator	D2 U' B2 D2 L2 R U2 B' R2 D2 L' B' D U2 B2 U' B D' F' R (20f*)

Name
Generator	D' L2 R2 D L' F D R2 B L2 R' U2 L2 D2 B' D U' R2 F R2 (20f*)

Name
Generator	R2 F2 L2 U' R' F R2 D' B U' L' D' F' U2 L2 F2 L F U' R' (20f*)

Name
Generator	F L2 R' B2 D' U L B' L R' B D' F D F2 D' R2 D' R' U2 (20f*)

Name
Generator	D B R U F2 L F2 U2 L2 B' U' R' B' R2 U2 R U L R2 U2 (20f*)

Name
Generator	D' L2 D' B2 U' F R2 F2 U F2 U F D2 L' D' F2 U L2 B' R (20f*)

Name
Generator	D L2 D2 L2 U2 R B' U L' D B2 L' B F' D2 F2 R' U' F2 R' (20f*)

Name
Generator	D' B2 D2 L2 B2 R D' B' R' U' L' F L2 D B R F2 U2 B' R2 (20f*)

Name
Generator	L2 U L2 R2 B2 R' B2 U' L B D R2 U B U2 R B' U2 F R' (20f*)

Name
Generator	D' F' L' R2 B L2 F' D L B2 U L' F' U R2 D U2 F' R' U' (20f*)

Name
Generator	F2 R2 B2 D R' D' F L F2 L2 D2 F' U' L' D' B U' R2 F R' (20f*)

Name
Generator	D L2 D' B2 U' F R2 F2 U F2 U F D2 L' D' F2 U L2 B' R (20f*)

Name
Generator	D' L2 D2 L2 U2 R B' U L' D B2 L' B F' D2 F2 R' U' F2 R' (20f*)

Name
Generator	F2 U L2 U2 B2 L' U' R' B2 R' U2 B F D U F R D L2 R2 (20f*)

Name
Generator	F2 D B' D' F2 U2 B U2 L D' R' B2 D' R2 B' F' U2 L R2 U' (20f*)

Name
Generator	F2 U2 B2 D' R' F' R2 D L R2 B' D R F' U L2 R2 B U R2 (20f*)

Name
Generator	D' L2 U L2 R F U R B L' U B U R' U' B' F' D' U' F' (20f*)

Name
Generator	L2 D U L2 F' D' L' B R2 U' B' D' B L' F R2 F U2 F R' (20f*)

Name
Generator	R2 B F2 U B2 D2 R' B F' D' L2 B2 D2 F' U' B' D U' R' U' (20f*)

Name
Generator	L2 U' F L R' B' F2 U2 R2 U B R D F R U F2 U' R' U' (20f*)

Name
Generator	U R2 D2 R2 D2 R B' U L' D B2 L' B F' D2 F2 R' U' F2 R' (20f*)

Name
Generator	F2 D2 L2 D' U' B2 R B' D' U2 F D2 R U' F2 U2 L' R2 F R2 (20f*)

Name
Generator	F2 U F2 D' R U2 L2 F D' U' R2 B D' B R2 D L B F R (20f*)

Name
Generator	L B2 R2 U2 B' U' B F2 D2 F' D2 L' R F' L2 D B' U2 R' U' (20f*)

Name
Generator	D' R2 F2 D' U' F' R B D' L2 R2 B F2 D' B2 F2 D2 L B' R' (20f*)

Name
Generator	U R2 F2 D2 U' F D2 B' D' L U2 B2 F2 R2 D' L' B' L2 F R' (20f*)

Name
Generator	B2 L2 D' L' U2 R F' D' B U' F R' F2 D' F2 L D2 B R U' (20f*)

Name
Generator	U' R2 F2 D' U' F' R B D' L2 R2 B F2 D' B2 F2 D2 L B' R' (20f*)

Name
Generator	R2 U' B2 F2 U' B' D2 R' U' L D R' F2 R2 B D R B F' R' (20f*)

Name
Generator	B' U B L B F L2 R U' B2 F' D F D' F' R2 D2 U2 R U' (20f*)

Name
Generator	B2 R' B F U2 B' D' L' D' R' B' D' F2 L2 R U B' D' R' U' (20f*)

Name
Generator	L' D2 F' U R2 B' L R' U2 B' U2 B2 F D' F' D2 L2 F2 R U' (20f*)

Name
Generator	L' F U' R' B D R2 F' D U2 B' D B L R B' D2 L2 R' U' (20f*)

The Group C4

The Group C₄