The Group D4h

Up to M-symmetry there are 124 cubes, which exactly have the symmetries of this subgroup which plays an important part in the symmetry reduction of the Two-Phase-Algorithm coordinates. D4h is the largest subgroup of M which preserves the UD-axis. Up to M-symmetry all cubes but one are generated in 19 moves or less. One cube needs 20 moves. It is the 4-spot combined with superflip. It is interesting to observe, that all 124 cubes are selfinverse.

The table gives the number of cubes up to M-symmetry which exactly have D4h-symmetry, the average maneuver length is 14.9:

Distance
Number
Distance
Number
0f
0
11f
0
1f
0
12f
6
2f
1
13f
14
3f
0
14f
18
4f
1
15f
3
5f
0
16f
19
6f
3
17f
20
7f
0
18f
19
8f
6
19f
10
9f
1
20f
1
10f
2

If you are interested in a list of all optimal maneuvers, download the file D4h.zip. The 20f*-maneuver also is included in the file 20moves.zip.
Name
 4-spot combined with Superflip
Generator
 D L2 F2 R2 B' D2 L R U' R2 U' F2 D' R2 U' B' F' D2 R' U' (20f*)
Name
  
Generator
 D B R' D F2 L' B D' U R' B L2 D' F R' U' (16f*)
Name
Generator
 D B2 F2 D' U L2 R2 U' (8f*)
Name
Generator
 R D U F' L2 U2 R2 D2 R2 U2 F D' U' R' (14f*)
Name
Generator
 B' F' D' U' L' R' B' F' D' U' L' R' (12f*)
Name
Generator
 D' L' R U2 L2 D2 B F D2 R2 U2 L R' U' (14f*)
Name
Generator
 F2 R2 B2 R' F2 R' B F' D B2 R2 D B2 L' R' B' D U' R' (19f*)
Name
Generator
 D B2 L2 B2 D U' R2 F2 R2 U' (10f*)
Name
Generator
 L' D2 B F' L2 D' B2 F2 D' R2 B F' L2 R2 U2 R' (16f*)
Name
Generator
 D2 L2 F2 L2 R2 F2 R2 U2 (8f*)
Name
Generator
 R' D2 B' F L2 U' L2 B F' U2 R' U2 L2 R2 U2 R' (16f*)
Name
Generator
 B F D U L R B' F' D' U' L' R' (12f*)
Name
Generator
 B' F D U' F' R2 B' F' D U R' F2 D U' R2 F' L' R' U' (19f*)
Name
Generator
 D' L' R U2 L2 U2 B F U2 R2 U2 L R' U' (14f*)
Name
Generator
 B' F' L' D' F' U F2 D2 L' D' U' R' U2 B2 D B' U' R' (18f*)
Name
Generator
 L2 F2 R2 B2 F2 R2 F2 R2 (8f*)
Name
Generator
 D2 L' D2 U2 L D2 B F' L2 U R2 B F' U2 R' U2 (16f*)
Name
Generator
 D2 B2 F2 L2 R2 U2 (6f*)
Name
Generator
 U2 L B2 F2 L' U2 B F' R2 D L2 B' F U2 R' U2 (16f*)
Name
Generator
 U L' R' B' D2 U2 B' F D2 U2 F L R U' (14f*)
Name
Generator
 L U' B' F' R' F2 D U' R2 F U2 B2 D U' R' D U' R' (18f*)
Name
Generator
 U L' R' F' R2 B2 F2 R2 D2 U2 F L R U' (14f*)
Name
Generator
 R B D2 U' L R' B' L' B F' D L B F' U' F' R' (17f*)
Name
Generator
 L2 R2 D U' L2 R2 D U' (8f*)
Name
Generator
 L U2 B F' R2 U L2 R2 U' L2 B F' U2 R' (14f*)
Name
Generator
 L B2 F2 L' U2 B F' R2 D L2 B' F U2 R' (14f*)
Name
Generator
 U L R B D2 U2 B F' D2 U2 F' L' R' U' (14f*)
Name
Generator
 D' B F R' F2 D U' R2 F' D' U' L' D U' L R' U' R2 U' (19f*)
Name
Generator
 U L R F R2 B2 F2 R2 D2 U2 F' L' R' U' (14f*)
Name
Generator
 D F2 R2 F2 D' U R2 F2 R2 U' (10f*)
Name
Generator
 R' B2 F2 R' U2 B F' R2 U' L2 B F' L2 R2 U2 R' (16f*)
Name
Generator
 L2 F2 L2 R2 F2 R2 (6f*)
Name
Generator
 R' D2 B' F R2 U' L2 R2 U' R2 B F' L2 R2 U2 R' (16f*)
Name
Generator
 D' L' R D2 L2 U2 B F D2 R2 U2 L R' U' (14f*)
Name
Generator
 D' B' L R' D F2 L2 U R2 U' B F' R' U2 B2 R2 U2 R' U' (19f*)
Name
Generator
 D' L' R U2 R2 U2 B' F' U2 L2 U2 L R' U' (14f*)
Name
Generator
 L' R D' U L' U2 L' R' B F D' B2 L R' U2 F' L' R' U' (19f*)
Name
Generator
 D2 U2 (2f*)
Name
Generator
 L U B2 L2 U B' D2 U2 F U' R2 F2 U' R' (14f*)
Name
Generator
 D B2 F2 D U' L2 R2 U' (8f*)
Name
Generator
 D F U2 R' U R F' D U' R B' U' B U2 R' U' (16f*)
Name
Generator
 D' B2 L2 B2 L' R B F U2 R2 U2 L R' U' (14f*)
Name
Generator
 R' D L D' B' R' F2 D U' B R F U' B R2 B2 F2 U2 R' (19f*)
Name
Generator
 D' B2 R2 F2 L' R B' F' D2 R2 U2 L R' U' (14f*)
Name
Generator
 L2 R2 D' U L2 R2 D U' (8f*)
Name
Generator
 L' D2 U2 L D2 B F' L2 U R2 B F' U2 R' (14f*)
Name
Generator
 B2 F2 L2 R2 (4f*)
Name
Generator
 R U2 B' F L2 D B2 F2 D U2 L2 B F' U2 R' (15f*)
Name
Generator
 L R' U2 L2 U2 B F D2 L2 U2 L R' D' U' (14f*)
Name
Generator
 L F R B D L' R B' D U' L' R2 D' U R' D' F' R' U' (19f*)
Name
Generator
 B F D U L' R' B F D' U' L' R' (12f*)
Name
Generator
 D' B F L' F2 D' U L2 F' D' U' L' D U' L R' U' R2 U' (19f*)
Name
Generator
 U2 L2 R2 D U' L2 R2 D' U' (9f*)
Name
Generator
 U2 L' D2 U2 L D2 B F' L2 U R2 B F' U2 R' U2 (16f*)
Name
Generator
 U2 B2 F2 L2 R2 U2 (6f*)
Name
Generator
 D2 L B2 F2 L' U2 B F' R2 D L2 B' F U2 R' U2 (16f*)
Name
Generator
 F2 L2 B2 L R' B F U2 R2 U2 L R' D' U' (14f*)
Name
Generator
 D' F2 D B' F D U' B D U R F2 D U' R2 F L' R' U' (19f*)
Name
Generator
 B' F' D' U' L R B F D' U' L' R' (12f*)
Name
Generator
 R U' B' F' L' F2 D' U L2 F U2 B2 D U' R' D U' R' (18f*)
Name
Generator
 U' B F U2 R2 U2 R2 B' F' R2 U2 R2 U' (13f*)
Name
Generator
 D2 L R' D U' L U2 B F D F2 L' R U2 F' L R U' (18f*)
Name
Generator
 U' B F U2 L2 D2 L2 B' F' R2 U2 R2 U' (13f*)
Name
Generator
 U2 B F' D U' B L R D L2 B F' D2 R' B F R2 U' (18f*)
Name
Generator
 D B2 L' R B F' D2 F2 L R U2 R2 U' (13f*)
Name
Generator
 D2 B' F L D2 L U2 L' D U' F L2 U2 F L' R' U' (17f*)
Name
Generator
 U R2 B F L R B F D U R2 U' (12f*)
Name
Generator
 D2 B' F R F2 L B2 R' D U' F L2 U2 F L' R' U' (17f*)
Name
Generator
 U' F2 D2 F2 L R F2 D2 F2 D2 L' R' U' (13f*)
Name
Generator
 L R' D' U R' U2 B' F' D B2 L' R D2 F' L' R' U' (17f*)
Name
Generator
 U' B2 D2 B2 L R F2 U2 F2 D2 L' R' U' (13f*)
Name
Generator
 L R' D' U L2 R D2 B' F' U B2 L R' U2 F' L' R' U' (18f*)
Name
Generator
 U L2 D2 L R B F L R D U' R2 U' (13f*)
Name
Generator
 B F' R' D U F' U2 R2 F' L R' D F2 D' R2 U' (16f*)
Name
Generator
 D2 U' R2 B' F' L' R' B' F' D' U' R2 U' (13f*)
Name
Generator
 B F' L' F2 R' B2 L D' U F' R2 U2 F' L R U' (16f*)
Name
Generator
 U L2 R2 U2 F2 D F2 R2 U2 L2 F2 U2 F2 R2 U' R2 U' (17f*)
Name
Generator
 F2 L R' D2 B' D U L B' F L R' F' U2 L' R' U' (17f*)
Name
Generator
 U L2 R2 U2 F2 D B2 L2 U2 L2 F2 D2 F2 R2 U' R2 U' (17f*)
Name
Generator
 B2 L R' U2 B F2 D U F2 L B' F L R' F' L' R' U' (18f*)
Name
Generator
 F2 D' B2 F2 L2 R2 U' F2 D' U' L' R' B' F' L' R' (16f*)
Name
Generator
 B F' R2 U2 L' D' U B R2 B L2 R2 F' D2 B' L R' U' (18f*)
Name
Generator
 U2 R2 D B2 F2 L2 R2 U R2 D U' L' R' B' F' L' R' (17f*)
Name
Generator
 B2 L2 D B' F' L D U' L2 R2 F' U2 B' D2 F L R' U' (18f*)
Name
Generator
 B2 L' R' B L2 B2 R2 U2 B2 R2 F2 U2 F' L' R' (15f*)
Name
Generator
 L D2 L2 D B R2 B F2 L2 D2 L2 F' L2 F U' R2 U2 R' (18f*)
Name
Generator
 L2 D' L2 B' R2 B2 F2 D2 U2 R2 F' R2 U' R2 (14f*)
Name
Generator
 F2 R2 F2 U2 B F' R' B F D B F' D' U F' L' R' U' (18f*)
Name
Generator
 L2 D2 L2 U F2 D2 B' F L' R' B F R2 U' R2 U2 (16f*)
Name
Generator
 B2 U' L' R' U2 B' L' R B F' R D U B' U2 L R' (17f*)
Name
Generator
 L2 U2 R2 U B2 U2 B' F L' R' B F R2 U' R2 U2 (16f*)
Name
Generator
 B2 U' L' R' U2 F' L R' B' F L' R2 D U B' U2 L R' (18f*)
Name
Generator
 U' F2 U2 F2 L R F2 U2 F2 U2 L' R' U' (13f*)
Name
Generator
 B F' D' U B2 F L' R' U R2 B' F D2 R' B' F' R2 U' (18f*)
Name
Generator
 U' B2 U2 B2 L R F2 D2 F2 U2 L' R' U' (13f*)
Name
Generator
 B F' D U' B' L2 D' U' L F2 D U' R2 F' L' R' U' (17f*)
Name
Generator
 D B2 U2 B F L2 D2 L' R B F' R2 U' (13f*)
Name
Generator
 B' F L R2 D U B' L2 U2 B' L R' U L2 U' R2 U' (17f*)
Name
Generator
 U R2 B' F' L' R' B' F' D' U' R2 U' (12f*)
Name
Generator
 L2 B F' D2 R' B F R2 U B F' D U' F' L' R' U' (17f*)
Name
Generator
 U' B F D2 R2 D2 R2 B' F' R2 D2 R2 U' (13f*)
Name
Generator
 U2 L R' D U' L U2 B F D F2 L' R U2 F' L R U' (18f*)
Name
Generator
 U' B F D2 L2 U2 L2 B' F' R2 D2 R2 U' (13f*)
Name
Generator
 B' F2 U R' F' L2 U2 B' D2 F D L U' F U F2 R2 U' (18f*)
Name
Generator
 U L2 U2 L' R' B' F' L' R' D U' R2 U' (13f*)
Name
Generator
 U2 B' F L D2 L U2 L' D U' F L2 U2 F L' R' U' (17f*)
Name
Generator
 D2 U' R2 B F L R B F D U R2 U' (13f*)
Name
Generator
 F2 L' R U2 F' D U R B' F L' R F' U2 L' R' U' (17f*)
Name
Generator
 R2 D' F2 U2 L R B2 D2 R2 F2 D2 L' R' U' R2 (15f*)
Name
Generator
 L2 B2 L2 D' U' B F' L' B F U B F' D U' F' L' R' U' (19f*)
Name
Generator
 U' B2 U B2 L2 D2 B2 F2 L2 F2 D2 F2 R2 U' R2 U' (16f*)
Name
Generator
 R' D2 R2 D F D2 B2 L2 F2 R2 F2 U2 F U R2 U2 R' (17f*)
Name
Generator
 B2 F2 L2 R2 U R2 B F L R B F D U R2 U' (16f*)
Name
Generator
 F2 U' L' R' U2 B F2 L R' B F' L D U B' U2 L R' (18f*)
Name
Generator
 L2 U2 L2 U' R2 B' F' L R' B2 R2 B F' U' R2 U2 (16f*)
Name
Generator
 F2 D' L R F L' R B F' L' B2 D' U' F' U2 L R' (17f*)
Name
Generator
 U' B2 U2 L2 R2 D' F2 R2 U2 L2 F2 U2 F2 R2 U' R2 U' (17f*)
Name
Generator
 F2 L R' D2 B F2 D U L B' F L R' F' U2 L' R' U' (18f*)
Name
Generator
 U' B2 D2 L2 R2 D' B2 L2 D2 L2 F2 U2 F2 R2 U' R2 U' (17f*)
Name
Generator
 L R' D' U R' D2 B' F' U B2 L R' U2 F' L' R' U' (17f*)
Name
Generator
 F2 D' B2 F2 L2 R2 U' F2 D U L' R' B' F' L' R' (16f*)
Name
Generator
 R2 U L2 D' B' F R U2 B2 R D' U' B D2 U2 L R' U' (18f*)
Name
Generator
 D2 R2 D B2 F2 L2 R2 U R2 D U' L' R' B' F' L' R' (17f*)
Name
Generator
 B2 D F2 D' B F' R D2 F2 R D' U' F D2 U2 L R' U' (18f*)