Die Wurzelspirale

Die Wurzelspirale oder auch Wurzelschnecke wird ausgehend von einem rechtwinkligen Dreieck mit den beiden Kathetenlängen 1 durch das Anfügen weiterer rechtwinkliger Dreiecke erzeugt. Die angefügte Kathete muss dabei immer die Länge 1 haben. Nach dem Satz des Pythagoras haben die Hypotenusen der erzeugten Dreiecke der Reihe nach die Längenusw. .

Wenn man die Wurzelspirale als hübsche Anwendung des Satzes von Pythagoras ansieht und sich vielleicht noch fragt, bei welcher Hypotenusenlänge sich die Dreiecke erstmals überschneiden, so kann man hier aufhören. Zeichnet man die Wurzelspirale weiter, so drängen sich allerdings neue Fragen und Vermutungen auf, deren Beantwortung durchaus anspruchsvoll ist.

Wenn man das dargestellte n-te Dreieck zur Schnecke hinzufügt, beträgt der Winkelzuwachs = . Der entsprechende Radienzuwachs ist. Für große n ist ungefähr und ungefähr halb so groß, nämlich , wie man durch eine Taylorentwicklung leicht zeigt.

Bei einer vollen Umdrehung beträgt der gesamte Winkelzuwachs 2Pi, der Radienzuwachs demnach für große n ungefähr halb so viel, also Pi.

DIese Argumentation "beweist" allerdings nur Punkt 1. Für eine strengere und genauere Untersuchung verwenden wir die Eulersche Summenformel.

Die Eulersche Summenformel macht eine Aussage über die Summe von Funktionswerten einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion:

(1)

Dabei sind B_r die Bernoulli Zahlen und R(k) ein Restglied, das von dem beliebig zu wählenden Parameter k >=1 abhängt. Es gilt

R(k) =

wobei Frac(x) den nichtganzzahligen Anteil von x und B_k(x) das k-te Bernoulli-Polynom darstellt.
Es gilt z.B. B₁(x) = x - 1/2, B₂(x) = x² - x + 1/6 und B₃(x) = x³ - 3/2 x² + 1/2 x.

Für unsere Zwecke geeigneter ist es allerdings, das Restglied in der Form

R(k) =

zu schreiben.

Wir benutzen diese Formel jetzt, um die Winkelsumme phi(n -1) der ersten n -1 Dreiecke der Wurzelspirale zu bestimmen. Es gilt

phi(n -1) = , wobei f(x) = , n>=1.

Wenn wir k = 3 wählen erhalten wir mit der Eulerschen Summenformel:

phi(n -1) = + R(3,n),
mit

R(3,n) = .

Wegen der Abhängigkeit von n haben wir R(3,n) anstelle von R(3) geschrieben.

B3(x) = x3 - 3/2 x2 + 1/2 x ist links oben abgebildet und ist symmetrisch zu x = 0.5. Links unten ist f'''(x) abgebildet. Da diese Funktion außerdem streng monoton wachsend und negativ ist, ist jedes der Integrale in R(3,n) und damit auch R(3,n) negativ. Man kann leicht zeigen, dass der Grenzwert R von R(3,n) für n -> unendlich existiert. Wenn man R durch numerische Integration bestimmt, erhält man R = -0.0005190848966070898389.....

Führen eine Reihenentwicklung von phi(n -1) - R(3,n) im Punkt unendlich durch, so erhalten wir

phi(n -1) - R(3,n) =

Für ein einzelnes Integral G(j) = von R(3,n) erhält man die Abschätzung , und damit lässt sich R - R(3,n) =
mit O(1/n)^7/2 abschätzen.

Es gilt also R(3,n) = R + O(1/n)^7/2,

und insgesamt folgt daraus

phi(n -1) =

Die zum Gesamtwinkel phi(n -1) gehörige Hypotenuse des n - 1 ten Dreiecks hat die Länge r = .
Wir können also auch

(2) phi(r) = , r>=1

schreiben, wobei n = r^2 - 1 und

K= = - 2.157782996659446220929...

Damit lässt sich die 2. und 3. Frage beantwortet. Es handelt sich für r gegen unendlich um eine Archimedische Spirale mit a = 1/2 und b = - K/2.

Ersetzen wir das konstante Glied K in (2) durch einen Näherungsbruch und vernachlässigen die Terme höherer Ordnung, so erhalten wir

(3) w(r) =

Diese Approximation ist auch für kleine r bereits so gut, dass mit dem Auge keine Abweichung zu erkennen ist, wie folgende Graphik mit den ersten 16 Dreiecken zeigt. Die blaue Kurve gibt ( r | w(r) ) in Polarkoordinaten an.

Die folgende Tabelle zeigt, dass phi(5,r) =
wie bei (2) gezeigt, nur in der Größenordnung O(1/r)^7 von phi(r) abweicht.

Schon beim dritten Dreieck unterscheiden sich phi(r) und phi(5,r) nur noch in der 6. Nachkommastelle!
Die Tabelle legt außerdem nahe, dass

0 < phi(r)-phi(5,r) < 0.0007/r^7 für alle r>=1.

Indem man in die Eulersche Summenformel (1) nicht k=3 sondern ein k>=8 einsetzt, erhält man entsprechend

phi(15,r)=

Die Abweichung phi(15,r) von phi(r) ist nur von der Ordnung O(1/r)^17.
Man erkennt auch, dass der Grenzwert von [phi(r)-phi(5,r)] r^7 in der obigen Tabelle gerade 5/8064 = 0.000620039... beträgt.

Die Beziehung lässt sich benutzen, um K sehr genau zu bestimmen, indem man ausnutzt, dass
phi(r)-phi(15,r) für wachsendes r sehr rasch gegen Null konvergiert, und man phi(r) über die Summe der Arkustangenswerte ja direkt berechnen kann. Man erhält entsprechend (die Berechnung wurde mit phi(41,r) und r= 600 durchgeführt):

K=-2.1577829966594462209291427868295777235041395986075624551548955508588696467966\
0648149669429894639608987102644546323483...

In der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ist die Folge a(k) angegeben, welche die Anzahl der Dreiecke angibt, mit denen die Spirale gerade die k-te Drehung vollendet hat. Die Folge lautet

17, 54, 110, 186, 281, 396, 532, 686, 861, 1055, 1269, 1503, 1757, 2030, 2323, 2636, 2968, 3320, 3692, 4084, 4495, 4927, 5377, 5848, 6338.....

Einen geschlossenen Ausdruck für diese Folge gibt es vermutlich nicht, wir können aber eine Näherungsfolge b(k) angeben, welche die Folge a(k) zumindest sehr gut approximiert und vielleicht sogar mit ihr identisch ist..
Wenn wir in (2) das konstante Glied K mit -2c bezeichnen, so erhalten wir für k Drehungen:

2kPi = 2r +1/(6r) -1/(120r^3) - 2c + O(1/ r)^5 und damit

r + 1/(12r) - 1/(240r^3) + O(1/ r)^5 = kPi + c.

Quadrieren wir diese Gleichung so erhalten wir

r^2 +1/6 -1/(720r^2) + O(1/r)^4 = (kPi + c)^2.

Wegen n = r^2 - 1 erhalten wir dann

n = (kPi + c)^2 - 7/6 + 1/(720(n+1)) + O(1/n)^2

Ein nicht ganzzahliger Wert für n muss immer zur nächsten natürlichen Zahl hin aufgerunded werden, da wir ja das n suchen, bei der die k-te Drehung vollendet wird. Bezeichnen wir mit Int(x) den ganzahligen Anteil einer nicht ganzen Zahl x , so beschreibt Int(x+1) diese Aufrundung und wir erhalten für die Näherungsfolge b(k):

(4) b(k) = Int( (kPi + c)^2 - 1/6), mit c ungefähr 1.078891498329723110465.

Für alle k<=4000 wurde die Näherungsfolge b(k) und die exakten Folge a(k) miteinander verglichen und Übereinstimmung festgestellt.
Allerdings kann b(k) um 1 kleiner als a(k) sein, dann nämlich, wenn die Vernachlässigung
des Terms in der Größenordung 1/(720(n+1)) dazu führt, dass zur nächstkleineren Zahl hin abgerundet wird.
Zumindest gilt also

(5) 0<= a(k) - b(k) <= 1, für alle k >= 1:

Wenn man annimmt, dass n - Int(n) im Intervall [0,1[ gleichverteilt ist, lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(k) dass a(k) - b(k) = 1 ist für große k mit 1/(720b(k)), also mit 1/(720 (kPi + c)^2) < 1/(7100k^2) abschätzen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass a(k) = b(k) für alle k>4000 ist dann das unendliche Produkt

(1-P(4001)) (1-P(4002)) (1-P(4003)) (1-P(4004))............. > 0.9999999647

Die Betrachtung zeigt also, dass a(k) = b(k) für alle k>=1 recht wahrscheinlich ist - ein Beweis der darüber Gewissheit verschafft ist aber mit den hier verwendeten Methoden nicht zu finden..